4. В параллелограмме ABCD на продолжении диагонали BD за точку B отложен отрезок BM, а на продолжении за точку D отложен отрезок DK, причём BM = DK. Докажите, что AMCK — параллелограмм.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому OB = OD и OA = OC.
2. Точки M и K лежат на продолжениях диагонали BD за точки B и D соответственно.
3. Так как BM = DK и OB = OD, то OM = OK. Следовательно, O — середина отрезка MK.
4. Также O — середина диагонали AC.
5. В четырёхугольнике AMCK диагонали AC и MK пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, AMCK — параллелограмм.