4. В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка K так, что AK : KB = 2 : 1, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы OC и CK через векторы a = AB; b = AD.

Обозначим начало отсчёта точкой A. Тогда положение точек выражается через a и b.

1. В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому O — середина AC. Так как AC = a + b, получаем OC = ½AC = ½a + ½b.
2. Из отношения AK : KB = 2 : 1 следует, что AK = ⅔AB, то есть AK = ⅔a. Тогда CK = CA + AK = −(a + b) + ⅔a = −⅓a − b.

Ответ: OC = ½a + ½b; CK = −⅓a − b.