4. В параллелограмме ABCD: O — точка пересечения диагоналей, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразить через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) векторы: а) \(\overrightarrow{CD}\); б) \(\overrightarrow{AC}\); в) \(\overrightarrow{BD}\); г) \(\overrightarrow{OD}\); д) \(\overrightarrow{CO}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны как векторы, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Возьмём A за начало: тогда положения вершин задаются векторами \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\). Поэтому:

1. \(\overrightarrow{CD}=\vec b-(\vec a+\vec b)=-\vec a\).
2. \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).
3. \(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\).
4. O — середина BD, значит \(\overrightarrow{AO}=\frac{\vec a+\vec b}{2}\), откуда \(\overrightarrow{OD}=\frac{\vec b-\vec a}{2}\).
5. O — середина AC, следовательно \(\overrightarrow{CO}=-\frac{\vec a+\vec b}{2}\).

Ответ: а) \(-\vec a\); б) \(\vec a+\vec b\); в) \(\vec b-\vec a\); г) \(\frac{\vec b-\vec a}{2}\); д) \(-\frac{\vec a+\vec b}{2}\).