4. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. Докажите, что треугольник KME — равнобедренный; найдите сторону KP, если ME равна 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Так как \(MN\parallel KP\), углы \(KEM\) и \(EKP\) равны как накрест лежащие. Поскольку \(KE\) — биссектриса угла K, \(\angle MKE=\angle EKP\). Следовательно, \(\angle MKE=\angle KEM\), и в треугольнике KME равны противоположные им стороны: \(ME=KM\). Значит, треугольник KME равнобедренный.

Тогда \(KM=ME=10\) см. Периметр параллелограмма равен \(2(KM+KP)=52\), поэтому \(KM+KP=26\), откуда \(KP=26-10=16\) см.

Ответ: \(KP=16\) см.