4. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Так как KE — биссектриса угла MKP, то ∠MKE = ∠EKP. Стороны MN и KP параллельны, поэтому ∠EKP = ∠KEM как накрест лежащие углы при секущей KE. Значит, ∠MKE = ∠KEM, и в треугольнике KME против равных углов лежат равные стороны: KM = ME. Следовательно, треугольник KME равнобедренный.

б) Из пункта а) KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому 2(10 + KP) = 52. Делим на 2: 10 + KP = 26, откуда KP = 16 см.

Ответ: KP = 16 см.