4. В прямоугольнике HCXK точка D является точкой пересечения диагоналей. ∠HKC = 30°, CK = 66 см. Найдите углы и периметр треугольника HDC.

В прямоугольном треугольнике HKC угол при C равен 90°, а ∠HKC = 30°. Поэтому ∠KHC = 60°. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, значит DH = DC.

Так как D лежит на диагонали CK, ∠HCD = 90° − ∠KCD = 90° − 30° = 60°. Треугольник HDC равнобедренный (DH = DC), поэтому ∠DHC = ∠HCD = 60°, а ∠HDC = 60°. Следовательно, треугольник равносторонний.

Гипотенуза HK прямоугольного треугольника HKC вдвое больше катета CK, лежащего напротив угла 30°: HK = 132 см. Тогда DH = DC = 66 см, а периметр HDC равен 3 · 66 = 198 см.

Ответ: углы треугольника — 60°, 60°, 60°; периметр — 198 см.