4. В прямоугольном Δ ABC с прямым углом С ∠A=30°, гипотенуза AB=16см., катет АС=9см. Найти катет ВС и периметр ΔABC.

Привет! Давай найдём все стороны и периметр этого прямоугольного треугольника.

Что дано?

• \[ \triangle ABC \] - прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \).
• \[ \angle A = 30^{\circ} \]
• Гипотенуза \( AB = 16 \text{ см} \).
• Катет \( AC = 9 \text{ см} \).

Что нужно найти?

• Катет \( BC \)
• Периметр \( \triangle ABC \)

Решение:

1. Находим катет BC, используя теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
• \[ 16^2 = 9^2 + BC^2 \]
• \[ 256 = 81 + BC^2 \]
• \[ BC^2 = 256 - 81 \]
• \[ BC^2 = 175 \]
• \[ BC = \sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = 5\sqrt{7} \text{ см} \]

Примечание: Угол A = 30°, а катет, лежащий напротив него (BC), равен \( 5\sqrt{7} \) см. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, должен быть равен половине гипотенузы. \( \frac{16}{2} = 8 \) см. Здесь \( 5\sqrt{7} \approx 5 \times 2.64 = 13.2 \) см. Это означает, что в условии задачи есть противоречие, так как катет AC=9см, а не 8см. Но мы будем использовать данные задачи и теорему Пифагора для расчёта.

2. Находим периметр треугольника: Периметр — это сумма длин всех сторон.
• \[ P = AB + AC + BC \]
• \[ P = 16 + 9 + 5\sqrt{7} \]
• \[ P = 25 + 5\sqrt{7} \text{ см} \]

Ответ: Катет BC = $$5\sqrt{7}$$ см, периметр P = $$25 + 5\sqrt{7}$$ см.