4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) провели высоту CM. Найдите угол ABC, если AC = 2 см, AM = 1 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAMC (∠AMC = 90°).

В этом треугольнике катет AM (1 см) лежит против угла ∠ACM, а катет AC (2 см) является гипотенузой.

Мы можем найти синус угла ∠ACM:

\( \sin(∠ACM) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2} \)

Угол, синус которого равен 1/2, равен 30°.

\( ∠ACM = 30° \)

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°. Угол ∠C состоит из двух углов: ∠ACM и ∠BCM.

\( ∠ACB = ∠ACM + ∠BCM \)

\( 90° = 30° + ∠BCM \)

\( ∠BCM = 90° - 30° = 60° \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBCM (∠BMC = 90°). В этом треугольнике угол ∠BCM = 60°.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

\( ∠MBC + ∠BCM = 90° \)

\( ∠ABC + 60° = 90° \)

\( ∠ABC = 90° - 60° = 30° \)

Ответ: 30°.