4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 4 см, проекция этого катета на гипотенузу AB равна 2 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть D — основание высоты из C на гипотенузу AB. Проекция катета AC на гипотенузу — отрезок AD, поэтому \(AD=2\) см.

По теореме о катете \(AC^2=AB\cdot AD\). Следовательно, \(AB=\frac{AC^2}{AD}=\frac{16}{2}=8\) см.

Тогда \(DB=AB-AD=8-2=6\) см. По теореме о катете для BC: \(BC^2=AB\cdot DB=8\cdot6=48\), значит, \(BC=4\sqrt3\) см.

Площадь прямоугольного треугольника: \(S=\frac12 AC\cdot BC=\frac12\cdot4\cdot4\sqrt3=8\sqrt3\) см².

Ответ: \(8\sqrt3\) см².