4. В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой, внешний угол ∠BAK = 120°, AB + AC = 36. Найдите длину катета AC.

Считаем, что луч AK является продолжением стороны AC за точку A, как это обычно подразумевается в обозначении внешнего угла. Тогда внутренний угол при A и внешний угол ∠BAK — смежные:

\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

AB — гипотенуза прямоугольного треугольника, а AC лежит напротив угла 30°, поскольку \(\angle B=30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому \(AC=\frac{AB}{2}\).

Подставим это соотношение в условие: \(AB+\frac{AB}{2}=36\). Отсюда \(\frac{3AB}{2}=36\), значит \(AB=24\) см и \(AC=12\) см.

Ответ: 12 см.