4. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 3, а BC = 6.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В нём:

\( ∠ C = 90° \) (по условию)

\( CD \) — высота.

В прямоугольном треугольнике BCD, угол CBD — это тот же угол B, что и в треугольнике ABC.

Найдем синус угла B:

\( ѕін B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{BC} \)

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( ѕін A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \)

В прямоугольном треугольнике BCD, \( ∠ CDB = 90° \). Используем теорему Пифагора для нахождения CD:

\( BC^2 = CD^2 + DB^2 \)

\( 6^2 = CD^2 + 3^2 \)

\( 36 = CD^2 + 9 \)

\( CD^2 = 36 - 9 = 27 \)

\( CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)

Теперь найдем синус угла B:

\( ѕін B = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Так как \( ѕін B = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то угол B равен 60°.

В прямоугольном треугольнике ABC (\( ∠ C = 90° \)), сумма углов A и B равна 90°.

\( ∠ A + ∠ B = 90° \)

\( ∠ A + 60° = 90° \)

\( ∠ A = 90° - 60° = 30° \)

Ответ: 30°.