4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен 45°, то треугольник равнобедренный, а его катеты равны.

Найдём катет:

\[a=\frac{82}{\sqrt2}=41\sqrt2.\]

Площадь:

\[S=\frac12a^2=\frac12(41\sqrt2)^2=\frac12\cdot3362=1681.\]

Ответ: 1681.