4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20°. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть D - основание высоты, а M - основание медианы. Угол между высотой (CD) и медианой (CM) равен 20°. Назовем этот угол ∠DCM = 20°. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам, поэтому ΔАМС равнобедренный и ∠МАС = ∠MCA. Пусть ∠МАС=x. ∠AMC=180-2x. ∠CMD=180-∠CMA = 2x. Угол ACD=90-∠MAC=90-x. Угол MCD=∠ACD-∠ACM= 90-x-x=90-2x. Теперь мы знаем, что ∠DCM=20°, то есть 90-2x=20, 2x=70, x=35. То есть угол BAC=35°, а угол ABC=90-35=55°. **Решение:** 1. Обозначим острые углы треугольника как \( \alpha \) и \( \beta \), где \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \) 2. Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому треугольник, образованный медианой и частью гипотенузы, является равнобедренным. 3. Угол между медианой и высотой равен 20°. 4. Угол между медианой и гипотенузой равен \( \alpha \) (т.к. медиана отсекает на гипотенузе равнобедренный треугольник). Таким образом, угол между высотой и гипотенузой равен \( \alpha - 20^{\circ} \) 5. Угол между высотой и катетом равен \( \beta \). Следовательно, \( \beta = \alpha - 20^{\circ} \) 6. Учитывая, что \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), получаем: \( \alpha + \alpha - 20^{\circ} = 90^{\circ} \). Отсюда \( 2\alpha = 110^{\circ} \), и \( \alpha = 55^{\circ} \) 7. Теперь найдем \( \beta = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \) **Ответ:** острые углы равны 55° и 35°.