№4. В прямоугольной трапеции ABCK большая боковая сторона равна 8 см, угол A равен 60°, а высота BH делит основание AK пополам. Найдите площадь трапеции.

Считаем основаниями трапеции AK и BC, а CK — перпендикулярной боковой стороной. Поскольку BH делит AK пополам, H — середина основания.

1. Большая боковая сторона — наклонная AB, поэтому AB=8 см. В прямоугольном треугольнике ABH угол A равен 60°: \(AH=AB\cos60°=4\) см, \(BH=AB\sin60°=4\sqrt3\) см.
2. Так как H — середина AK, \(AK=2AH=8\) см. Верхнее основание равно расстоянию между вертикальными сторонами: \(BC=HK=AH=4\) см.
3. Площадь трапеции: \(S=\frac{AK+BC}{2}\cdot BH=\frac{8+4}{2}\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\) см².

Ответ: \(24\sqrt3\) см².