4. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона 12 см, а большая составляет с основанием угол 45°. Найдите основания трапеции, если её средняя линия равна 20 см.

Обозначим большее основание через B, меньшее — через b. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям, поэтому высота равна 12 см.

Опустим из конца меньшего основания перпендикуляр на большее. Получится прямоугольный треугольник с углом 45°. Его горизонтальный катет равен высоте: \(B-b=12\), поскольку \(\tan 45^\circ=1\).

По формуле средней линии \(\frac{B+b}{2}=20\), значит \(B+b=40\). Решаем систему: \(B-b=12\), \(B+b=40\). Складывая равенства, получаем \(2B=52\), откуда \(B=26\) см; тогда \(b=14\) см.

Ответ: основания равны 14 см и 26 см.