№4. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая составляет с большим основанием угол 45°. Найдите основания трапеции, если её средняя линия равна 20 см.

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям, поэтому высота равна 12 см.

Большая боковая сторона образует с большим основанием угол 45°. Горизонтальная разность оснований равна проекции этой боковой стороны на основание. Поскольку \(\tan 45^\circ=1\), разность оснований равна высоте: 12 см.

Средняя линия равна полусумме оснований, значит их сумма равна \(2\cdot20=40\) см.

Обозначим большее основание через \(a\), меньшее — через \(b\). Тогда \(a+b=40\), \(a-b=12\). Складываем равенства: \(2a=52\), откуда \(a=26\) см. Тогда \(b=40-26=14\) см.

Ответ: основания равны 26 см и 14 см.