4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса ВД. Периметр треугольника ABC равен 150, периметр треугольника ABD равен 60. Найдите длину биссектрисы. Хватает ли данных, чтобы найти длину высоты и медианы, проведенных из точки В?

В равнобедренном треугольнике \(AB=BC\), а биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию, является также медианой. Поэтому \(AD=DC\).

Обозначим \(AB=BC=x\), \(AD=DC=y\), \(BD=d\).

Из периметра треугольника \(ABC\):

\(2x+2y=150\), поэтому \(x+y=75\).

Периметр треугольника \(ABD\) должен быть:

\(x+y+d=75+d\).

Так как длина биссектрисы положительна, этот периметр должен быть больше \(75\). Но по условию он равен \(60\), что невозможно.

Следовательно, исходные данные противоречивы: такого треугольника не существует. Поэтому длину биссектрисы найти нельзя.

Так как биссектриса из вершины равнобедренного треугольника одновременно является высотой и медианой, при согласованных данных эти длины были бы равны длине биссектрисы. Но в данном условии определить их нельзя.

Ответ: данные противоречивы; треугольник с такими периметрами не существует, поэтому длины биссектрисы, высоты и медианы определить нельзя.