4. В равнобедренном треугольнике ABC с вершиной в углы В и С относятся как 1:2 соответственно. Найдите угол между биссектрисой АК и стороной АС.

Решение:

Пусть \( ∠ B = x \), тогда \( ∠ C = 2x \). В равнобедренном треугольнике \( ABC \) углы при основании равны, значит, \( ∠ B = ∠ C \). Это означает, что \( x = 2x \), откуда \( x = 0 \), что невозможно для треугольника. Вероятно, в условии имелось в виду, что углы при основании относятся как 1:2. Примем \( ∠ B = ∠ C = \alpha \). Если углы \( B \) и \( C \) относятся как \( 1:2 \), то речь идет о углах при вершине, что также некорректно для равнобедренного треугольника. Предположим, что \( ∠ B \) и \( ∠ C \) — это углы при основании, и они равны, а \( ∠ A \) относится к \( ∠ B \) как \( 1:2 \) или \( 2:1 \).

Предположим, что \( ∠ B = ∠ C \) и \( ∠ A : ∠ B = 1:2 \).

Тогда \( ∠ B = ∠ C = 2y \) и \( ∠ A = y \).

Сумма углов треугольника \( 180^\circ \): \( y + 2y + 2y = 180^\circ \).

\( 5y = 180^\circ \) \( → y = 36^\circ \).

Значит, \( ∠ A = 36^\circ \), \( ∠ B = ∠ C = 72^\circ \).

\( AK \) — биссектриса \( ∠ A \), следовательно, \( ∠ KAC = ∠ KAB = ∠ A / 2 = 36^\circ / 2 = 18^\circ \).

Рассмотрим \( ∆ AKC \). Угол \( ∠ AKC = 180^\circ - ∠ KAC - ∠ C = 180^\circ - 18^\circ - 72^\circ = 90^\circ \).

Угол между биссектрисой \( AK \) и стороной \( AC \) — это \( ∠ KAC \).

Ответ: \( 18^\circ \).