4*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на высоте BD выбрана точка М. Докажите равенство треугольников AMD и CMD.

Решение:

Дано: \( \Delta ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание. \( BD \) — высота. \( M \in BD \).

Доказать: \( \Delta AMD = \Delta CMD \).

Доказательство:

Рассмотрим \( \Delta AMD \) и \( \Delta CMD \).

1. \( AD = CD \) (высота \( BD \) в равнобедренном \( \Delta ABC \) является медианой, так как она опущена на основание \( AC \)).
2. \( \angle AMD = \angle CMD = 90^{\circ} \) (высота \( BD \) перпендикулярна основанию \( AC \), а \( M \) лежит на \( BD \), значит, \( AM \) и \( CM \) также перпендикулярны \( AC \)).
3. \( AM = CM \) (так как \( M \) лежит на высоте \( BD \), которая является осью симметрии равнобедренного \( \Delta ABC \), и \( BD \) проходит через вершину \( B \) и середину основания \( AC \). Точка \( M \), лежащая на \( BD \), находится на равном расстоянии от \( A \) и \( C \)).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \Delta AMD = \Delta CMD \).

Ответ: Доказано.