4*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на высоте BD выбрана точка М. Докажите равенство треугольников AMD и CMD.

Решение:

Дано:

• Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
• BD — высота.
• М — точка на высоте BD.

Доказать: ΔAMD = ΔCMD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AMD и CMD:

• 1. AD = CD: Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, а BD — высота, то BD является также и медианой. Медиана делит основание пополам, поэтому AD = CD.
• 2. Угол ADM = Угол CDM = 90°: Так как BD — высота, она перпендикулярна основанию АС, следовательно, угол ADM и угол CDM являются прямыми.
• 3. AM = CM: Треугольник АВС равнобедренный, и М лежит на высоте BD. Высота BD является осью симметрии для равнобедренного треугольника. Следовательно, любая точка на оси симметрии (в данном случае точка М) равноудалена от вершин основания (А и С). Поэтому AM = CM.

Таким образом, по трем сторонам (по двум сторонам и углу между ними, где сторона AM = CM, сторона AD = CD, и угол AMD = угол CMD = 90°), треугольники AMD и CMD равны. (По двум сторонам и углу между ними: AD = CD, UD = UD (общая сторона), ∠ADM = ∠CDM = 90°). Мы имеем две стороны и угол между ними. Однако, более строгое доказательство с использованием теоремы о симметрии равнобедренного треугольника или по трем сторонам:

Доказательство по трем сторонам:

• 1. AD = CD (BD - медиана).
• 2. MD = MD (общая сторона).
• 3. AM = CM (М лежит на оси симметрии равнобедренного треугольника).

Следовательно, по трем сторонам (III признак равенства треугольников), ΔAMD = ΔCMD.