4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ, равная 5 см. Д∠ABC = 120°. Найдите боковые стороны треугольника АВС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС (основание АС) медиана ВМ, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Значит, ∠ВМА = 90°.

Медиана ВМ также делит угол при вершине пополам:

• ∠АВМ = ∠СВМ = ∠ABC / 2 = 120° / 2 = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВМ:

• У нас есть ∠АВМ = 60°, ∠ВМА = 90° и сторона ВМ = 5 см.
• Нам нужно найти боковую сторону АВ.
• В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• \[ \tan(\angle ABM) = \frac{AM}{BM} \]
• \[ \tan(60°) = \frac{AM}{5} \]
• \[ AM = 5 \cdot \tan(60°) \]
• \[ AM = 5 \cdot \sqrt{3} \] см.

Теперь найдем боковую сторону АВ, используя теорему Пифагора или тригонометрию.

Используем синус:

• \[ \sin(\angle ABM) = \frac{AM}{AB} \]
• \[ \sin(60°) = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{AB} \]
• \[ AB = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sin(60°)} \]
• \[ AB = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
• \[ AB = 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \]
• \[ AB = 10 \] см.

Так как треугольник равнобедренный, то АВ = ВС.

Ответ: Боковые стороны треугольника равны 10 см.