4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°, а высота BD из вершины В равна 11 см. Найти ВС

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - равнобедренный} \]
• \[ AC \text{ - основание} \]
• \[ \angle B = 120^{\circ} \]
• \[ BD \perp AC \text{ (высота)} \]
• \[ BD = 11 \text{ см} \]

Найти:

• \[ BC \text{ (боковую сторону)} \]

Решение:

1. \[ \text{В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.} \text{ Сумма углов треугольника равна } 180^{\circ}. \text{ Поэтому } \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}. \]
2. \[ \text{Высота } BD \text{ в равнобедренном треугольнике, проведенная из вершины угла между боковыми сторонами, является также биссектрисой и медианой.} \text{ Следовательно, } \angle ABD = \angle CBD = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}. \text{ Также } AD = DC. \]
3. \[ \text{Рассмотрим прямоугольный треугольник } BDC. \text{ Мы знаем, что } \angle BCD = 30^{\circ} \text{ и } \angle BDC = 90^{\circ}. \text{ Высота } BD = 11 \text{ см}. \]
4. \[ \text{В прямоугольном треугольнике } BDC, \text{ катет } BD \text{ лежит напротив угла } \angle BCD = 30^{\circ}. \text{ Катет, лежащий напротив угла в } 30^{\circ}, \text{ равен половине гипотенузы.} \text{ Следовательно, } BD = \frac{1}{2} BC. \]
5. \[ \text{Подставляем известные значения:} \quad 11 \text{ см} = \frac{1}{2} BC \]
6. \[ BC = 11 \text{ см} \times 2 = 22 \text{ см}. \]

Ответ: 22 см