4. В равнобедренной трапеции ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке N₁. На прямых AB и CD взяты точки F и Q так, что B лежит между A и F, а C между D и Q. Биссектрисы углов FBC и BCQ пересекаются в точке N₂. Длина отрезка N₁N₂ равна 12 см. Найдите длину BN₂, если ∠BN₁C = 60°.

1. По условию точки F и Q лежат за B и C на продолжениях боковых сторон. Поэтому параллельными основаниями трапеции являются AD и BC. (Если бы AB ∥ CD, биссектрисы углов ABC и BCD пересекались бы под прямым углом, что противоречит данному углу 60°.)
2. В равнобедренной трапеции углы ABC и BCD равны. Их биссектрисы образуют с BC равные углы, поэтому треугольник BN₁C равнобедренный. Так как ∠BN₁C = 60°, треугольник BN₁C равносторонний. Обозначим BC = s; тогда BN₁ = CN₁ = s.
3. Углы FBC и BCQ смежны соответственно с углами ABC и BCD. Поскольку эти последние углы равны и их половины составляют 60°, углы FBC и BCQ равны 60°. Их биссектрисы образуют с BC углы по 30°. Следовательно, в равнобедренном треугольнике BN₂C высота к BC равна (s/2) · tan 30° = s/(2√3), а BN₂ = s/√3.
4. Высота равностороннего треугольника BN₁C равна s√3/2. Точки N₁ и N₂ лежат по разные стороны от BC на его перпендикулярной биссектрисе, поэтому N₁N₂ = s√3/2 + s/(2√3) = 2s/√3 = 2BN₂.
5. Тогда 12 = 2BN₂, откуда BN₂ = 6 см.

Ответ: 6 см.