4) В равнобедренной трапеции ABCD основания BC = 5 и AD = 15, диагонали перпендикулярны. Найти CE.

Обозначим через E основание перпендикуляра из C на AD. В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно нижнего. Поэтому горизонтальный сдвиг каждого верхнего конца относительно соответствующего нижнего равен \((15-5):2=5\).

Выберем координаты: A(0, 0), D(15, 0), B(5, h), C(10, h), где h = CE. Направляющие векторы диагоналей AC и BD: (10, h) и (10, −h). Перпендикулярность диагоналей означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\(10\cdot10+h\cdot(-h)=0\), откуда \(100-h^2=0\). Так как высота положительна, h = 10.

Ответ: CE = 10.