4.В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите площадь трапеции. 6 5 45°

Решение:

В равнобедренной трапеции известны высота (h = 5), меньшее основание (b = 6) и угол при основании (\( \alpha = 45^{\circ} \)).

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать оба основания. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. В этом треугольнике высота \( h = 5 \), угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \). Обозначим отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, как \( x \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$ \tan(\alpha) = \frac{h}{x} $$$$ \tan(45^{\circ}) = \frac{5}{x} $$

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), получаем:

$$ 1 = \frac{5}{x} $$$$ x = 5 $$

Теперь найдем большее основание \( a \). Оно равно сумме меньшего основания \( b \) и двух отрезков \( x \) (так как трапеция равнобедренная):

$$ a = b + 2x $$$$ a = 6 + 2 \cdot 5 $$$$ a = 6 + 10 $$$$ a = 16 $$

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади:

$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$$$ S = \frac{16 + 6}{2} \cdot 5 $$$$ S = \frac{22}{2} \cdot 5 $$$$ S = 11 \cdot 5 $$$$ S = 55 $$

Ответ: Площадь трапеции равна 55.