4. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна большей стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длины сторон трапеции, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

В условии обрезана часть текста после слов «Найдите длины сторон трапеции,»; не видно, какая именно сторона или сторона какого объекта требуется найти. Однако длины всех четырёх сторон по указанным данным определить можно.

Поскольку \(AB\parallel CD\), углы \(A\) и \(D\) смежные при секущей \(AD\). Следовательно, \(\angle A=180°-60°=120°\). Диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам, поэтому \(\angle DAC=\angle CAB=60°\).

Так как \(AC\perp CD\), треугольник \(ACD\) прямоугольный. Его углы при \(A\) и \(D\) равны 30° и 60°, поэтому, обозначив \(AC=x\), получаем \(CD=\sqrt3x\), \(AD=2x\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) углы при \(C\) и \(A\) равны 30° и 60°. Поэтому \(AB=\frac{x}{\sqrt3}\), а \(BC=\frac{2x}{\sqrt3}\).

Используем периметр:

\(x+\sqrt3x+2x+\frac{x}{\sqrt3}+\frac{2x}{\sqrt3}=35\), откуда \(x(3+2\sqrt3)=35\) и \(x=\frac{35}{3+2\sqrt3}=35(2\sqrt3-3)\).

Тогда \(AC=35(2\sqrt3-3)\) см, \(CD=35(6-3\sqrt3)\) см, \(AD=70(2\sqrt3-3)\) см, \(AB=\frac{35}{3}(2\sqrt3-3)\) см, \(BC=\frac{70}{3}(2\sqrt3-3)\) см. Стороны трапеции: \(AB, BC, CD, DA\).

Чтобы точно выполнить обрезанную часть требования, пришлите её целиком. По видимым данным: \(AB=\frac{35}{3}(2\sqrt3-3)\) см, \(BC=\frac{70}{3}(2\sqrt3-3)\) см, \(CD=35(6-3\sqrt3)\) см, \(DA=70(2\sqrt3-3)\) см.