№ 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB. ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Так как AB — боковая сторона, основания трапеции — AD и BC, поэтому \(AD\parallel BC\). Обозначим \(BD=x\).

В прямоугольном треугольнике ABD угол B равен \(90^\circ\), а угол D — \(30^\circ\). Поэтому \(AB=x/\sqrt3\), а гипотенуза \(AD=2x/\sqrt3\).

Из параллельности \(AD\parallel BC\) следует, что \(\angle DBC=\angle ADB=30^\circ\). В треугольнике BDC углы при B и D равны 30°, следовательно, \(CD=BD=x\), а \(BC=\sqrt3x\).

По периметру: \(x/\sqrt3+2x/\sqrt3+x+\sqrt3x=60\), откуда \((1+2\sqrt3)x=60\). Тогда \(AD=2x/\sqrt3=\frac{120}{\sqrt3+6}\approx15.36\) см.

Ответ: \(\frac{120}{\sqrt3+6}\) см (примерно 15,36 см).