4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB. ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите площадь трапеции, если её периметр равен 60 см.

Так как \(BD\perp AB\), треугольник ABD прямоугольный, причём \(\angle ADB=30^\circ\). Обозначим \(BD=x\). Тогда по соотношениям в прямоугольном треугольнике \(AB=x/\sqrt{3}\), \(AD=2x/\sqrt{3}\).

В треугольнике BDC углы при D и C равны 30° (поскольку основания трапеции параллельны), следовательно, \(BC=BD=x\), а \(CD=\sqrt{3}x\).

Периметр:

\(AB+BC+CD+AD=x/\sqrt{3}+x+\sqrt{3}x+2x/\sqrt{3}=60\).

Отсюда \(x(1+2\sqrt{3})=60\), поэтому \(x=60/(1+2\sqrt{3})\).

Основания трапеции — AB и CD, так как обе перпендикулярны BD. Её высота равна BD. Площадь:

\(S=\frac{AB+CD}{2}\cdot BD=\frac{x/\sqrt{3}+\sqrt{3}x}{2}\,x=\frac{2x^2}{\sqrt{3}}\).

Подставляя найденное \(x\), получаем \(S=\frac{7200}{\sqrt{3}(1+2\sqrt{3})^2}\approx338.5\text{ см}^2\).

Ответ: \(\frac{7200}{\sqrt{3}(1+2\sqrt{3})^2}\text{ см}^2\), приблизительно 338,5 см².