4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и является биссектрисой угла D. Периметр трапеции ABCD равен 20 см, ∠A = 60°. Найдите длину AD.

Пусть AB = x. Так как AB — боковая сторона, основания трапеции — AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

Из BD ⟂ AB и ∠A = 60° следует, что треугольник ABD прямоугольный, а ∠ADB = 30°. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: AD = 2AB = 2x.

Поскольку BD — биссектриса угла D, ∠BDC = ∠ADB = 30°. А из AD ∥ BC следует ∠BCD = 180° − ∠D = 120°. Значит, в треугольнике BCD углы при D и C равны 30° и 120°, а угол B равен 30°. Следовательно, BC = CD = x.

Периметр: x + x + x + 2x = 20, откуда 5x = 20 и x = 4 см.

Тогда AD = 2x = 8 см.

Ответ: 8 см.