4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, углы ADB и BDC равны 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции ABCD равен 60 см.

Поскольку углы ADB и BDC по 30°, диагональ BD делит угол ADC на две части по 30°. Следовательно, ∠ADC = 60°.

Так как AB ⟂ BD, треугольник ABD прямоугольный, а ∠ADB = 30°. Поэтому ∠BAD = 60°. В треугольнике ABD угол при D также равен 30°, значит сторона AD — гипотенуза.

Из свойств прямоугольного треугольника с углами 30°, 60° и 90° получаем: если BD = x, то AB = x/√3 и AD = 2x/√3.

Поскольку основания трапеции параллельны, ∠BCD = 180° − ∠BDC = 150°. Тогда в треугольнике BCD третий угол равен 0°? Это невозможно: углы 30° и 150° уже составляют 180°. Следовательно, данные условия противоречивы для невырожденной трапеции.

Действительно, при основаниях AD ∥ BC углы ADB и DBC должны быть равны как накрест лежащие при секущей BD. Но условие задаёт ∠ADB = 30°, тогда как ∠BDC = 30° относится к другой стороне диагонали и вместе с ними задаёт ∠ADC = 60°; согласовать это с ∠BAD = 60° и AB ⟂ BD невозможно: в четырёхугольнике сумма углов при A, B, C, D не может быть 360° при заданных направлениях.

В условии, вероятно, есть ошибка в обозначении одного из углов или в расположении вершин. Без уточнения точный периметрический расчёт и длину AD определить нельзя.