4. В трапеции MNKL MN = KL — боковые стороны, ∠M = 60°. а) Найдите остальные углы трапеции; б) найдите боковые стороны, если NK = 14 см, ML = 22 см.

Поскольку боковые стороны трапеции равны, трапеция равнобедренная. Её основания — \(NK\) и \(ML\), поэтому углы при каждом основании равны: \(\angle M=\angle L\), \(\angle N=\angle K\).

а) Соседние углы при боковой стороне в сумме дают \(180°\). Следовательно, \(\angle N=180°-60°=120°\). Тогда \(\angle K=120°\), а \(\angle L=60°\).

б) Разность оснований равна \(22-14=8\) см. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между проекциями боковых сторон: каждая проекция равна \(8:2=4\) см. При угле \(M=60°\) проекция боковой стороны равна половине боковой стороны, так как \(\cos60°=\frac12\). Значит, \(MN=KL=4:\frac12=8\) см.

Ответ: а) \(\angle N=120°\), \(\angle K=120°\), \(\angle L=60°\); б) \(MN=KL=8\) см.