4. В треугольнике ABC AB = 4√3, BC = 3, S₍ABC₎ = 3√3. Найти AC.

По формуле площади через две стороны и угол между ними: \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B\).

Подставим данные: \(3\sqrt3=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot3\cdot\sin B=6\sqrt3\sin B\), откуда \(\sin B=\frac12\). Возможны два угла: \(B=30^\circ\) или \(B=150^\circ\).

По теореме косинусов \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B=57-24\sqrt3\cos B\).

Если \(B=30^\circ\), то \(AC^2=57-36=21\), поэтому \(AC=\sqrt{21}\).

Если \(B=150^\circ\), то \(AC^2=57+36=93\), поэтому \(AC=\sqrt{93}\).

Ответ: \(AC=\sqrt{21}\) или \(AC=\sqrt{93}\).