4*. В треугольнике $ABC$ $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4*. В треугольнике $ABC$ $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$.…$ Фото задания

4*. В треугольнике $ABC$ $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Accepted Answer

Обозначим через $M$ середину $BB_1$, а через $\vec u=\overrightarrow{AB}$ и $\vec v=\overrightarrow{AC}$.

Так как $B_1$ — середина $AC$, имеем $\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec v$. Следовательно, радиус-вектор середины отрезка $BB_1$, отсчитываемый от $A$, равен $\overrightarrow{AM}=\frac12(\vec u+\frac12\vec v)=\frac12\vec u+\frac14\vec v$.

Из $BA_1:A_1C=1:2$ следует, что $\overrightarrow{BA_1}=\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13(\vec v-\vec u)$. Поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\vec u+\frac13(\vec v-\vec u)=\frac23\vec u+\frac13\vec v$.

Сравним векторы: $\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{AA_1}$. Значит, векторы коллинеарны, поэтому точки $A,M,A_1$ лежат на одной прямой.

Доказано.

4*. В треугольнике \(ABC\) \(B_1\) — середина \(AC\), точка \(A_1\) лежит на стороне \(BC\) так, что \(BA_1:A_1C=1:2\). Используя векторы, докажите, что середина \(BB_1\) лежит на прямой \(AA_1\).

Ответ: