4. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠B = 30°. На катете BC отметили точку D такую, что ∠ADC = 60°. Найдите катет BC, если CD = 5 см.

В треугольнике ABC, угол C = 90°, угол B = 30°, следовательно, угол A = 180° - 90° - 30° = 60°. В треугольнике ADC, угол ADC = 60°, угол C = 90°, следовательно, угол DAC = 180° - 90° - 60° = 30°. Тогда угол ADB = 180° - 60° = 120°. В треугольнике ABD, угол A = 60° - 30° = 30°. Следовательно, угол ABD = 30° и угол BAD = 30°. Треугольник ABD равнобедренный, AD = BD. В треугольнике ADC: tg(угол DAC) = DC/AC, tg(30°) = 5/AC, AC = 5/tg(30°) = 5/ (1/sqrt(3)) = 5*sqrt(3). В треугольнике ABC: tg(угол B) = AC/BC, tg(30°) = (5*sqrt(3))/BC, BC = (5*sqrt(3))/tg(30°) = (5*sqrt(3))/(1/sqrt(3)) = 5*3 = 15. Ответ: Катет BC = 15 см.