5. Известно, что AB || CD, AM = CK, ∠AMB = ∠CKD (рис. 270). Докажите, что BC || AD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. По условию AB || CD. AM = CK и ∠AMB = ∠CKD. Докажем, что BC || AD. По условию AM = CK, рассмотрим треугольники ABM и CDK. В этих треугольниках ∠AMB = ∠CKD, AB || CD. ∠MAB = ∠KCD как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC. Рассмотрим треугольники ABM и CDK. У них ∠AMB = ∠CKD, AM = CK и ∠MAB = ∠KCD, следовательно, треугольники ABM и CDK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Тогда AB = CD. А так как AB || CD и AB = CD, четырехугольник ABCD — параллелограмм по определению. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, BC || AD. Что и требовалось доказать.