4. В треугольнике ABC известно, что BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 64, HC = 16 и ∠ACB = 37°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BH — высота, треугольник BHC прямоугольный, поэтому ∠BCH = 37° и ∠CBH = 90° − 37° = 53°.

Отрезок AH = AC − HC = 64 − 16 = 48. Поскольку BM — медиана, M — середина AC, значит AM = 64 : 2 = 32. Тогда MH = AH − AM = 48 − 32 = 16.

В прямоугольном треугольнике BHC угол при B имеет тангенс HC / BH. В прямоугольном треугольнике BHM угол при B имеет тангенс MH / BH. Поскольку HC = MH = 16, эти углы равны: ∠HBM = ∠CBH = 53°.

Луч BH лежит внутри угла ABM, а луч MA направлен противоположно лучу MH. Поэтому ∠AMB = 90° + ∠HBM = 90° + 53° = 143°.

Ответ: 143°.