4. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 59 и BC = BM. Найдите AH.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 59 : 2 = 29,5.

Пусть AH = x. Тогда HC = 59 − x, а MH = x − 29,5. Из прямоугольных треугольников BHC и BHM и условия BC = BM следует:

BC² = BH² + HC², BM² = BH² + MH². Значит, HC² = MH².

По рисунку H лежит между M и C, поэтому HC = MH. Получаем 59 − x = x − 29,5, откуда 2x = 88,5 и x = 44,25.

Ответ: 44,25.