4*. В треугольнике ABC с тупым углом B случайным образом выбирается точка M. Точка D — середина медианы BH. Найдите вероятность того, что точка M принадлежит: а) треугольнику ADC; б) треугольнику ABD.

Вероятность равна отношению площади указанного треугольника к площади ABC. Обозначим высоту треугольника ABC, опущенную из B на прямую AC, через h. Точка H — середина AC, а D — середина BH, поэтому расстояние от D до прямой AC равно h/2. Тупой угол B не меняет соотношений площадей.

а) У треугольников ADC и ABC общее основание AC, а высота ADC равна половине высоты ABC. Поэтому \(S_{ADC}=\frac12 S_{ABC}\), и вероятность равна \(\frac12\).

б) Поскольку D лежит на BH и BD = DH, треугольники ABD и AHD имеют одинаковую высоту из A к прямой BH и равные основания BD и DH. Значит, \(S_{ABD}=S_{AHD}\). Треугольник AHD составляет четверть площади ABC: его основание AH вдвое меньше AC, а высота из D к AC вдвое меньше высоты из B. Следовательно, \(P=\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac14\).

Ответ: а) \(\dfrac12\); б) \(\dfrac14\).