4. В треугольнике ABC сторона AB=4 см, BC=7 см, AC=6 см, а в треугольнике MNK сторона MK=8 см, MN=12 см, KN=14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A=80°, ∠B=60°.

Углы \(A=80^\circ\) и \(B=60^\circ\) относятся к треугольнику \(ABC\). Для нахождения углов треугольника \(MNK\) используем его стороны: \(MK=8\) см, \(MN=12\) см, \(KN=14\) см.

Угол \(\angle MNK\) лежит напротив стороны \(MK\). По теореме косинусов:

\(\cos N=\frac{MN^2+KN^2-MK^2}{2\cdot MN\cdot KN}=\frac{12^2+14^2-8^2}{2\cdot12\cdot14}=\frac{252}{336}=0.75\).

\(\angle N\approx41.4^\circ\).

Угол \(\angle MNK\) противоположен стороне \(MK=8\) см. Далее:

\(\cos M=\frac{MK^2+MN^2-KN^2}{2\cdot MK\cdot MN}=\frac{8^2+12^2-14^2}{2\cdot8\cdot12}=0.0625\), поэтому \(\angle M\approx86.4^\circ\).

\(\angle K=180^\circ-41.4^\circ-86.4^\circ\approx52.2^\circ\).

Ответ: \(\angle MNK\approx41.4^\circ\), \(\angle MNK\) — искомый угол; остальные углы: \(\angle M\approx86.4^\circ\), \(\angle K\approx52.2^\circ\).