4. В треугольнике ABC сторона AB = 8, ∠A = 45°, ∠B = 60°. Найдите сторону BC.

Сначала найдём третий угол: \(\angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\).

По теореме синусов: \(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}\), откуда \(BC=8\cdot\dfrac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ}\).

Используем значения \(\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\) и \(\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\):

\(BC=8\cdot\dfrac{\sqrt2/2}{(\sqrt6+\sqrt2)/4}=8(\sqrt3-\sqrt2)\).

Ответ: \(BC=8(\sqrt3-\sqrt2)\).