4. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠CAB = 42°. (Выполните чертёж, запишите подробное решение и ответ)

Так как AB = AC и ∠CAB = 42°, треугольник ABC равнобедренный с вершиной A. Его углы при основании равны: ∠ABC = ∠BCA = (180° − 42°) / 2 = 69°.

Поскольку X лежит на AC, ∠BAX = 42°. В треугольнике ABX равны стороны AX и BX, поэтому равны и углы напротив них: ∠ABX = ∠BAX = 42°. Тогда ∠AXB = 180° − 42° − 42° = 96°.

Точки A, X, Y лежат на одной прямой, причём X между A и Y. Поэтому ∠BXY = 180° − 96° = 84°. В треугольнике BXY равны BX и BY, значит ∠BXY = ∠BYX = 84°, а ∠XBY = 180° − 84° − 84° = 12°.

Угол ABC состоит из углов ABX, XBY и CBY. Следовательно, ∠CBY = 69° − 42° − 12° = 15°.

Ответ: ∠CBY = 15°.