4*. В треугольнике $ABC$ точка $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4*. В треугольнике $ABC$ точка $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$.…$ Фото задания

4*. В треугольнике $ABC$ точка $B_1$ — середина $AC$, точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Accepted Answer

Введём начало отсчёта в точке $A$. Обозначим $\overrightarrow{AB}=\vec b$, $\overrightarrow{AC}=\vec c$.

Так как $B_1$ — середина $AC$, то $\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec c$.
Из отношения $BA_1:A_1C=1:2$ следует, что $\overrightarrow{BA_1}=\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13(\vec c-\vec b)$. Значит, $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1}=\frac23\vec b+\frac13\vec c$.
Пусть $M$ — середина $BB_1$. Тогда $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1})=\frac12\vec b+\frac14\vec c$.
Сравним векторы: $\overrightarrow{AM}=\frac34\left(\frac23\vec b+\frac13\vec c\right)=\frac34\overrightarrow{AA_1}$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AA_1}$ пропорциональны, поэтому точки $A,M,A_1$ лежат на одной прямой.

Итак, середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Ответ: