4*. В треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор BO через векторы m = BA и n = BC.

Положим начало отсчёта в точку B. Тогда радиус-векторы точек A и C равны \(\vec m\) и \(\vec n\), а радиус-вектор точки B равен нулю.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому радиус-вектор центра тяжести равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:

\[\overrightarrow{BO}=\frac{\vec m+\vec n}{3}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac13(\vec m+\vec n)\).