4. В треугольнике ABC углы А и С равны 30° и 70° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

1. Найдем угол B: \( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - (30° + 70°) = 180° - 100° = 80° \).
2. Найдем угол ABH. В прямоугольном треугольнике ABH \( \angle AHB = 90° \). \( \angle ABH = 90° - \angle A = 90° - 30° = 60° \).
3. Биссектриса BD делит угол ABC пополам: \( \angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{80°}{2} = 40° \).
4. Угол между высотой BH и биссектрисой BD равен разности углов ABD и ABH: \( \angle DBH = |\angle ABD - \angle ABH| = |40° - 60°| = |-20°| = 20° \).

Ответ: 20°.