4. В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 52°, AD — биссектриса, E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Угол \(A=180°-45°-52°=83°\). Обозначим \(AC=AE=1\). По теореме синусов в треугольнике ABC получаем \(AB=\frac{\sin 52°}{\sin 45°}\).

Так как AD — биссектриса, по теореме о биссектрисе \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\). Используя эти отношения и теорему синусов для определения положения D на BC, вычисляем угол между DB и DE: \(\angle BDE\approx 6.9°\).

Ответ: примерно 6.9°.