4. В треугольнике ABC угол C=60°. На стороне АС отмечена точка D так, что угол BDC=60°, угол ABD=30°, CD=5см. Найдите АС.

Краткая запись:

• Треугольник ABC
• \(\angle C = 60^{\circ}\)
• D — точка на AC
• \(\angle BDC = 60^{\circ}\)
• \(\angle ABD = 30^{\circ}\)
• CD = 5 см
• Найти: AC — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник BDC. \(\angle BDC = 60^{\circ}\) и \(\angle C = 60^{\circ}\). Следовательно, \(\angle CBD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}\). Треугольник BDC — равносторонний.
2. Шаг 2: Так как треугольник BDC равносторонний, то все его стороны равны: BD = BC = CD = 5 см.
3. Шаг 3: Теперь рассмотрим треугольник ABC. \(\angle C = 60^{\circ}\). \(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\).
4. Шаг 4: Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом B.
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ABC, мы знаем катет BC = 5 см и \(\angle C = 60^{\circ}\). Нам нужно найти катет AC.
6. Шаг 6: Используем тангенс угла C: \(\tan C = \frac{AB}{BC}\). Но нам нужен AC. Используем котангенс угла C: \(\cot C = \frac{AC}{BC}\).
7. Шаг 7: Выразим AC: \( AC = BC \cdot \cot C \).
8. Шаг 8: Вычисляем AC: \( AC = 5 \cdot \cot 60^{\circ} = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см