4. В треугольнике АВС ∠ A = 40°, а ∠ B = 80°. Под какими углами Видны стороны АВ, ВС и CD из центра вписанной окружности?

Задание 4. Углы сторон из центра вписанной окружности

Дано:

• Треугольник АВС.
• \( ∠A = 40^\circ \).
• \( ∠B = 80^\circ \).

Найти: углы, под которыми стороны АВ, ВС и АС (в условии указана CD, но предполагается АС) видны из центра вписанной окружности.

Решение:

Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис треугольника.

1. Найдем третий угол треугольника \( ∠C \): \( ∠C = 180^\circ - ∠A - ∠B = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
2. Биссектрисы делят углы треугольника пополам:
• \( ∠IAC = ∠IAB = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ \).
• \( ∠IBA = ∠IBC = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \).
• \( ∠ICA = ∠ICB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
3. Рассмотрим треугольники, образованные центром вписанной окружности (I) и вершинами сторон.
4. Угол, под которым видна сторона AB: Рассмотрим \( ∠AIB \). Сумма углов в \( ∠AIB \) равна 180°. \( ∠AIB = 180^\circ - ∠IAB - ∠IBA = 180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ \).
5. Угол, под которым видна сторона BC: Рассмотрим \( ∠BIC \). \( ∠BIC = 180^\circ - ∠IBC - ∠ICB = 180^\circ - 40^\circ - 30^\circ = 110^\circ \).
6. Угол, под которым видна сторона AC (вместо CD): Рассмотрим \( ∠AIC \). \( ∠AIC = 180^\circ - ∠IAC - ∠ICA = 180^\circ - 20^\circ - 30^\circ = 130^\circ \).
7. Проверка: сумма углов \( 120^\circ + 110^\circ + 130^\circ = 360^\circ \), что соответствует полному углу.

Ответ: Сторона AB видна под углом 120°, сторона BC — под углом 110°, сторона AC — под углом 130°.