4. В треугольнике АВС АС = 37,5, ВС = 20, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

Дано:

• Треугольник АВС — прямоугольный.
• AC = 37,5
• BC = 20
• Угол C = 90°.

Найти:

• Радиус вписанной окружности (r).

Решение:

1. Найдем длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $$

$$ AB^2 = (37,5)^2 + (20)^2 $$

$$ AB^2 = 1406,25 + 400 $$

$$ AB^2 = 1806,25 $$

$$ AB = \sqrt{1806,25} $$

$$ AB = 42,5 $$

2. Найдем радиус вписанной окружности по формуле для прямоугольного треугольника:

$$ r = \frac{a + b - c}{2} $$

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

$$ r = \frac{20 + 37,5 - 42,5}{2} $$

$$ r = \frac{57,5 - 42,5}{2} $$

$$ r = \frac{15}{2} $$

$$ r = 7,5 $$

Ответ: 7,5