4. * В треугольнике АВС ∠B = 90°, ∠A = 45°, АС = 12 см, BD — биссектриса. а) Между какими целыми числами заключено расстояние от точки В до стороны АВ? б) Найдите длину отрезка MN, где DM ⊥ AB, DN ⊥ BC.

а) Расстояние от точки В до стороны АВ равно 0, так как точка В лежит на стороне АВ. б) Треугольник АВС — прямоугольный равнобедренный, так как ∠B = 90° и ∠A = 45°, следовательно ∠C = 45°. AB = BC = AC * cos(45°) = 12 * (√2 / 2) = 6√2. BD — биссектриса, делит ∠B пополам, ∠ABD = ∠CBD = 45°. Треугольники BDM и BCN прямоугольные. В треугольнике BDM: ∠BMD = 90°, ∠BDM = 45°, ∠DBM = 45°. Следовательно, треугольник BDM равнобедренный, BM = DM. В треугольнике BCN: ∠BNC = 90°, ∠DBC = 45°, ∠BDC = 45°. Следовательно, треугольник BCN равнобедренный, BN = DN. Так как DM ⊥ AB и DN ⊥ BC, то DM || BC и DN || AB. Четырехугольник DMNB является квадратом. Следовательно, MN = BM = DM = BN = DN. В треугольнике АВС, по теореме Пифагора, AB^2 + BC^2 = AC^2. (6√2)^2 + (6√2)^2 = 72 + 72 = 144. AC = 12. BD — биссектриса, по теореме о биссектрисе: AD/DC = AB/BC = 6√2 / 6√2 = 1. Значит, AD = DC. AC = AD + DC = 2AD = 12, AD = 6. В прямоугольном треугольнике ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(45°) = (6√2)^2 + 6^2 - 2 * 6√2 * 6 * (√2/2) = 72 + 36 - 72 = 36. BD = 6. Так как DMNB — квадрат, то MN = BD = 6. Ответ: а) 0; б) 6 см.