4. В треугольнике АВС известно, что ВС=АВ и ∠ABC = 142°. Найти ∠BCA.

Привет! Давай решим эту задачку.

Дано:

• Треугольник ABC.
• BC = AB (это значит, что треугольник равнобедренный).
• Угол ABC = 142°.

Найти:

• Угол BCA (который мы будем называть ∠C).

Решение:

1. Сумма углов в треугольнике:

Сумма всех углов в любом треугольнике равна 180°. То есть:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

2. Свойства равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае, BC = AB, значит, углы при основании AC равны. Это углы ∠BAC (назовем его ∠A) и ∠BCA (назовем его ∠C).

\[ \angle A = \angle C \]

3. Подставляем известные значения:

Мы знаем, что ∠B = 142°. Подставим это в уравнение суммы углов:

\[ \angle A + 142^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \]

Теперь, так как ∠A = ∠C, мы можем заменить ∠A на ∠C:

\[ \angle C + 142^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \]

Сложим одинаковые углы:

\[ 2 \times \angle C + 142^{\circ} = 180^{\circ} \]

4. Находим угол C:

Вычтем 142° из обеих частей уравнения:

\[ 2 \times \angle C = 180^{\circ} - 142^{\circ} \]

\[ 2 \times \angle C = 38^{\circ} \]

Разделим обе части на 2:

\[ \angle C = \frac{38^{\circ}}{2} \]

\[ \angle C = 19^{\circ} \]

Важное замечание: Угол при вершине B равен 142°, что больше 90°. В треугольнике может быть только один тупой угол (больше 90°). Поэтому углы при основании AC (∠A и ∠C) должны быть острыми (меньше 90°). Наша находка ∠C = 19° вполне подходит.

Ответ: Угол BCA равен 19°.