4. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, угол В равен 76°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМС.

Решение:

• Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный.
• Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
• 2 * ∠BAC + 76° = 180°.
• 2 * ∠BAC = 180° - 76° = 104°.
• ∠BAC = 104° / 2 = 52°.
• Итак, ∠BAC = ∠BCA = 52°.
• AM — биссектриса угла A, следовательно, ∠MAC = ∠BAC / 2 = 52° / 2 = 26°.
• CM — биссектриса угла C, следовательно, ∠MCA = ∠BCA / 2 = 52° / 2 = 26°.
• Рассмотрим треугольник AMC.
• Сумма углов в треугольнике AMC равна 180°: ∠MAC + ∠MCA + ∠AMC = 180°.
• 26° + 26° + ∠AMC = 180°.
• 52° + ∠AMC = 180°.
• ∠AMC = 180° - 52° = 128°.

Ответ: 128